圆总能给人以无限的想象！
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如果这是你第一次认识圆，看到上面的三个图形（半径为1cm，2cm，3cm的三个圆），或许你会使用刻度尺测量它们的周长，这需要你将圆在某处剪开，并展开成线段的形式。如果足够细心，你能得到周长的3个近似值：6.3cm，12.6cm，8cm.
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如果有更多半径不等的圆，你还能得到更多对应的周长。但是每次都使用上面的测量的方法实在很繁琐。有没有更简便的方法呢？因为圆的大小由半径决定，为此，或许你在某一天突然想找一找圆的周长与半径的关系了，经过缜密的分析，你发现周长/半径≈6，或者周长/直径≈3。这样，下次再遇到半径为r的圆时，周长的值使用c=3r来计算，而不需要测量了。
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上面的关于圆周长的计算公式，早在公元前17世纪就被聪明的古巴比人发现并使用了。同时，根据长期的经验总结，他们也得到圆的面积的近似公式：S=3r^2。换句话说，古巴比伦眼中的圆周率π≈3。虽然很粗糙，但实际应用基本已经足够。
数学发展到了古希腊，已经有了质的飞越，数学家不再满足于经验总结，进而寻求数学更理性、更本质的部分。在此背景下，从公元前7世纪开始，古希腊诞生了许多的数学家，数学成果(尤其是几何学)更是不计其数。而关于圆的性质，古希腊早在公元前5世纪就有了一项影响后世的发明。
穷竭法
安蒂丰（Antiphon，前480-前411年）是古希腊着名的数学家、辩论家及政治家。他在数学上的主要成就是发明了"穷竭法"，这是人类早期在解决无穷问题上最成功的尝试之一。
安蒂丰从圆的内接正四边形（也有说是正三角形）出发，依次通过下图中的圆的内接正八边形、正十六边形...来逼近圆的面积。只要有足够的耐心和先进的计算工具，安蒂丰的方法——穷竭法可以用来计算圆面积的一个足够精确的下限。
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后来， 安蒂丰的同时代人布赖森（Byson）又使用圆的外接正四边形、正八边形、正十六边形...来估计圆面积的上限。这样，通过圆的外接和内接正多边形（每次边数呈2倍增加）可以得到给定半径r的圆的面积的近似值，更进一步，当正多边形的边数为无穷大时，正多边形的面积与圆的面积接近无穷小了，也就是近似相等。
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"割圆术"
有了计算圆面积的方法，本该皆大欢喜，但是基于时代局限性，尤其是计算工具的严重落后，人们得到的圆的面积公式（或圆周率π值）总不尽人意。下面来一起看看几位数学大咖的计算结果：
⚪公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287—前212年）使用上面的"穷竭法"，从圆的内接和外接正六边形出发，逐步对边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。阿基米德求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。
⚪公元480年左右，我国南北朝数学家祖冲之也使用"割圆术"得出π精确到小数点后7位的结果，即不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。
⚪阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。
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从上面的陈述可以看出，尽管数学家早已发明了"穷竭法"（或"割圆术"）来研究部分无穷小问题，但是其认识的过程还是举步维艰的。事实上，在17世纪以前，除了古希腊的阿基米德在研究无穷小问题上（如使用穷竭法求抛物线弓形面积）稍有突破外，因为无穷小如此的捉摸不透，大多数数学家都是拒绝接受（或刻意回避）无穷小问题的。
...但到了17世纪，在费马、沃利斯、巴罗、卡瓦列里等先知的引领下，牛顿和莱布尼茨最终突破重重关卡，将无穷小问题变得不再可怕，甚至通过他们发明的微积分方法，无穷小问题变得如此的清晰简单。微积分的发现标志着分析学时代的来临，而分析学将一度引领数学的发展，直至今日也是如此。
费马作品中的无穷小
费马在无穷小中的工作主要集中在对"切线"和"曲线下面积"两方面。首先，费马首次将切线定义为"割线的极限"（17世纪以前由于曲线都是指通过尺规作出的图形，切线一般是指与曲线只有一个交点的直线）.因此，费马求切线的过程，相当于是割线的逼近过程。具体如下：
...如图，以T为坐标原点，则TQ为横坐标x,QJ为纵坐标f(x).当E很小时，根据△TJQ∽△JRT'，且T'R≈J'R.于是TQ:JQ=E:(J'Q'-RQ').即， x:f(x)=E:(f(x+E)-f(x)). 最后，令E=0,就可计算出TQ(或x)的值，进一步切线TJ也就确定了。
这样的解法与我们现在求切线的方法一致，E为增量△x.改写为今天的形式
相当于切线的斜率。
费马在这里大胆的使用增量E来解决切线问题，对于无穷小量E的位置，费马是有些犹豫的，因为之前是作为增量存在，而后又令它为0。
... ...1647年，圣文森特在他的着作《几何着作》中，使用费马的方法得到了y=1/x的积分的为klogy.
以微积分为研究方向的无穷小问题，在17世纪中期已经取得了许多开创性的成果。但是，微分和积分研究是相互独立的，而且缺乏一个更广泛的求微积分的工具，因此这个时期的无穷小研究是不成熟的。它还在等待另外两个重要人物的闪亮登场。
牛顿和莱布尼茨的工作
17世纪后半页，在前人大量工作的基础上，牛顿和莱布尼茨正式创立了微积分。他们的工作主要包括：广义二项式定理的使用使得求微积分更加轻松，积分不再独立存在而是作为微分的逆运算。但是，在处理无穷小问题上，牛顿和莱布尼茨仍然是模糊不清的。
... 牛顿在《流数简论》中，牛顿引入了流数法。牛顿对于其中的无穷小增量o 是不是零一直处于自相矛盾的状态。他首先认为无穷小增量o不是零, 但是在运算的过程中有的时候却常常略去了含有o 的项，在这一点上他无法给出合乎逻辑的论证。莱布尼茨也遇到了同样的问题。也因此，微积分受到当时许多着名数学家的质疑，围绕微积分中的"无穷小"问题，争论一直没有停止，直到家魏尔斯特拉斯 (W eierstrass, K. T. W. 1815——1897)提出来了严格的极限理论。
柯西和魏尔斯特拉斯的工作
1821 年, 在《教程》中，柯西写道:"当一个变量逐次所取的值无限趋 于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小有多小, 这个定值叫做所有其它值的极限。"在这里， 柯西使极限概念明确的成为算术的, 而摆脱了长期以来的几何说明。
...1854 年左右, 魏尔斯特拉斯对柯西的极限方法进行了改造, 也而把分析创建在算术概念的基础上。并提出了现在通用的ε-δ语言，系统创建了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。
...至此，数学家才在真正意义上解决了无穷小问题！
