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希尔伯特空间

先来说一下什么是希尔伯特空间。
这个概念听起来高大上，其实是个非常简单的概念。
先说什么是线性空间

线性空间

线性空间即定义了数乘和加法的空间。这个就是具有线性结构的空间。有了线性空间的概念之后，因为有数乘和加法，所以空间中可以找到一组基底能够通过线性组合得到空间中所有的点。

度量空间和赋范空间

距离的定义必须满足如下三个条件：

d(x,y)≥0;d(x,y)=0 的充要条件是x=y即非负性 d(x,y)=d(y,x);对称性 d(x,z)+d(z,y)≥d(x,y) 满足三角不等式。

定义了距离的空间叫度量空间。
定义了距离的线性空间叫线性度量空间

接下来再定义范数||x||，范数的定义必须满足：

||x||≥0即非负性 ||αx||=|α|||x|| ||x||+||y||≥||x+y||满足三角不等式

所以范数这个概念，可以看成从零点到x的距离，同时加上第二条||αx||=|α|||x|| ，即数乘可以提取出来。
所以：
** 由范数可以定义距离，即d(x,y)=||x−y||，但是距离不可以定义范数
因为距离的定义，不满足范数的第二条条件，范数是比距离更具体的一个东西（水果和热带水果）**

定义了范数的空间，叫赋范空间和度量空间。另外完备的赋范空间叫巴拿赫空间。
而定义了范数的线性空间，叫赋范线性空间